[TOC]
1.key elements
即博弈论中的一些不可或缺的因素：PSPIR
- Players:：$\geq 2$ (1个就变成规划了)
- Strategies：player做的一些决策
- Pay-Off：收益，即通过决策可以得到的东西(incentives)
- Information：知道什么
- Rationality：如何思考(是否理性)
实际上在实际中要考虑到道德等各方面的因素，无法做到完全理性，因此只能假设理性，这也是博弈论的缺陷所在
2.效益矩阵
| player(横2纵1) Strategy C | Strategy D | |
|---|---|---|
| Strategy A $P_{11}$ $P_{21}$ | $P_{12}$ $P_{22}$ | |
| Strategy B $P_{13}$ $P_{23}$ | $P_{14}$ $P_{24}$ |
- AB是Player1做出的策略；CD则是Player2做出的策略，P为收益，左边是1的收益矩阵，右侧则是2的收益矩阵
- $P_{ij}$指的是玩家i在情况j下的收益
效益矩阵实例化：囚徒困境
| player(横2纵1) Strategy C | Strategy D | |
|---|---|---|
| Strategy A -6 -6 | 0 -12 | |
| Strategy B -12 0 | -1 -1 |
- 这是囚徒困境的实例化，AC为坦白从宽，confess；BD表示抗阻从严
- 很明显：对Player1来说，无论2如何做，自己坦白从宽都是最佳策略；对2亦然如此
- 对他们来说，这个策略是纳什均衡的
- 纳什均衡：每个人理性上都不想改变自己的决策
- 一定存在
- 纳什均衡：每个人理性上都不想改变自己的决策
- 对他们来说，这个策略是纳什均衡的
- 全局视角下，很明显这不是最佳策略
- 理性：不选择严格劣的策略
- Each singal descison is not global optimum No-cooporativa,非合作下的决定不一定全局最优
- 囚徒困境只是特例，实际上AC\BD的策略并不一定相同
- 其他例子：
- Lesson for military
- Market Strategies
- Cooperation depend on morality, or the complicated dynamics of environment ?
| 田忌赛马(横田忌纵齐威王) | 上 | 中 | 下 |
|---|---|---|---|
| 上 | 1 -1 | 1 -1 | 1 -1 |
| 中 | -1 1 | 1 -1 | 1 -1 |
| 下 | -1 1 | -1 1 | 1 -1 |
- 田忌能赢的原因：信息不对等
3.Person Game:Simple Sum
- RULE:一堆金币，有两个人彼此博弈，每个人每次能拿k枚，轮换拿，拿到最后那枚金币的获胜
- Lemma：当每人能拿k枚硬币的时候，能够拿完硬币剩下i(k+1)(i\k为非负整数)的人获胜
- Proof:
- i=1时候显然成立(无论先手拿完多少后手都可以全部拿走而获胜，而且先手不可能全部拿完)
- 假设i=N的时候成立
- 那么i=N+1的时，总共有(N+1)(k+1)枚硬币，这时候假设先手拿t枚硬币，那么后手拿k+1-t枚硬币即可回到ii的状态，因此后手(剩下i(k+1))一定获胜
- Proof:
- 因此对于上面这个结果，先手的人在金币数除以k+1取模剩余1~k的时候都必胜，后手只在为k+1的时候必胜
- 这是一个序列博弈:Sequential Game Theory
4.五个海盗分金币
RULE：5个海盗偷到1000枚金币，怎么分？、
- 按照A>B>C>D>E的方式进行分配，第一位海盗进行分配方案确定，加上自己共有半数同意即可通过分配方案；如果没有通过，则被杀死，换第二个进行分配；… 依次类推
- 如果你是A，该怎么提方案？
条件:理性的人在相同情况下倾向于让游戏后结束-边界条件
- 采用树的形式，从尾部开始考虑：
- 对D:(1000,0)，因为自己能保证通过
- 对C:(999,0,1)，这样能让E通过，因为E如果不同意后面就一块拿不到
- 对B:(999,0,1,0)，这样能让D通过，刚好两票，原因同上
- 对A:(998,0,1,0,1),，这样能让BD通过，原因同上
5.一些博弈类型分类
(1) 合作博弈与非合作博弈
- 前者彼此不能通信，后者能有协定
囚徒困境就是非合作博弈，如果串供就是合作博弈
(2)零和博弈：总收益为0
石头剪刀布
Battle of sexes 性别战:非零和博弈
(3)瞬时和序列博弈
- 后者一般采用树的动态过程，类似海盗类型题
(4)完美和不完美信息博弈
- 后者不知道对方的决策
- 完美博弈不等于完全博弈
- 完美是知道对方的决策(如下围棋)，而完全是知道对方的收益矩阵
最后通牒博弈:序列、完美博弈
打牌是不完美信息博弈